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?  本報記者 孫立彬

近年來，人工智能（AI）與數(shù)學(xué)的雙向需求日益增多。一方面，當(dāng)大模型參數(shù)突破萬億，傳統(tǒng)基于經(jīng)驗的調(diào)參方法陷入瓶頸，模型的泛化能力、安全性、能耗控制等核心問題亟待數(shù)學(xué)理論的系統(tǒng)性支撐，如，大模型優(yōu)化依賴凸優(yōu)化與非凸優(yōu)化理論，Transformer架構(gòu)的注意力機制根植于概率統(tǒng)計與信息論，機器學(xué)習(xí)安全涉及博弈論與密碼學(xué)，多模態(tài)融合則需要拓?fù)鋵W(xué)與流形學(xué)習(xí)的支撐。另一方面，AI 對數(shù)學(xué)的反哺效應(yīng)愈發(fā)顯著，DeepMind公司開發(fā)的AI系統(tǒng)AlphaGeometry在證明歐幾里得平面幾何定理方面超越了國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽參賽者平均水平，其核心正是將幾何問題轉(zhuǎn)化為AI擅長的符號推理任務(wù)，這種模式正在改寫數(shù)學(xué)研究范式。

7月26日，在世界人工智能大會（WAIC）期間，“人工智能的數(shù)學(xué)邊界與基礎(chǔ)重構(gòu)”高端論壇及“數(shù)學(xué)與人工智能”學(xué)術(shù)會議同日舉行，全方位展現(xiàn)了AI與數(shù)學(xué)交叉領(lǐng)域的深度碰撞。

AI發(fā)展離不開數(shù)學(xué)

中國科學(xué)院院士、中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員袁亞湘表示，數(shù)學(xué)與人工智能的融合發(fā)展將日益緊密，數(shù)學(xué)在人工智能發(fā)展中的基礎(chǔ)性作用將愈發(fā)凸顯。他指出，當(dāng)前亟須提升社會各界，特別是科技政策制定部門對數(shù)學(xué)重要性的認(rèn)識。在布局國家人工智能戰(zhàn)略時，不能僅聚焦于計算機等工科領(lǐng)域，而應(yīng)當(dāng)充分重視數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵支撐作用，吸納數(shù)學(xué)家深度參與，以充分發(fā)揮多學(xué)科協(xié)同創(chuàng)新的優(yōu)勢。

里約熱內(nèi)盧聯(lián)邦大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)副教授兼數(shù)學(xué)研究所副所長Fabio Ramos認(rèn)為，盡管AI能生成逼真的模擬數(shù)據(jù)，但缺乏對底層物理規(guī)律的建模能力。為此，他提出通過數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)將物理原理嵌入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)，而非簡單引入物理變量，以構(gòu)建更泛化的框架，利用數(shù)據(jù)驅(qū)動方式實現(xiàn)物理規(guī)律的隱性表達(dá)，通過物理解法知道AI模型的設(shè)計，可以推動AI在科學(xué)計算領(lǐng)域的突破性應(yīng)用。

西安交通大學(xué)教授、西安數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)技術(shù)研究院副院長孟德宇強調(diào)了數(shù)學(xué)思維在機器學(xué)習(xí)中的核心作用，認(rèn)為數(shù)據(jù)、模型和算法的本質(zhì)是一種形式化語言，只有通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析才能深刻理解并改進機器學(xué)習(xí)方法。他以損失函數(shù)和卷積算子為例，指出傳統(tǒng)工科方法往往基于簡化假設(shè)（如固定損失函數(shù)或僅考慮平移等變性），而數(shù)學(xué)視角能揭示更復(fù)雜的數(shù)據(jù)噪聲結(jié)構(gòu)和算子性質(zhì)（如旋轉(zhuǎn)/尺度等變性），從而設(shè)計出更魯棒的模型。他呼吁數(shù)學(xué)研究者應(yīng)積極介入AI領(lǐng)域，通過理論創(chuàng)新與工科團隊合作，在算法設(shè)計、模型解釋等環(huán)節(jié)發(fā)揮不可替代的作用，最終推動機器學(xué)習(xí)在性能和可解釋性上的雙重突破。

武漢大學(xué)弘毅特聘教授、湖北國家應(yīng)用數(shù)學(xué)中心主任楊志堅犀利地指出，當(dāng)前AGI（通用人工智能）的發(fā)展模式是“亂戰(zhàn)”狀態(tài)，缺乏像傳統(tǒng)科研那樣的組織性。為此，他提出三個具體建議：第一，數(shù)學(xué)界需要組織起來，系統(tǒng)性地開展數(shù)據(jù)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)；第二，重視邊緣分布等關(guān)鍵數(shù)據(jù)特征的挖掘，提升研究效率；第三，在擁抱大模型的同時，要保持理性認(rèn)知，建立科學(xué)的評估體系。

數(shù)學(xué)突破是否是通向AGI的鑰匙？

菲爾茲數(shù)學(xué)科學(xué)研究院前院長Kumar Murty指出，AI的“幻覺”或許是想象力的種子，而人類數(shù)學(xué)家的價值在于從反直覺中提煉真理；法國學(xué)者Mathieu Laurière提出，多代理AI系統(tǒng)的社交智能進化，將是AGI突破的關(guān)鍵方向，而拓?fù)鋵W(xué)等數(shù)學(xué)工具將在其中發(fā)揮核心作用。

AI如何重塑數(shù)學(xué)研究

據(jù)介紹，AI對數(shù)學(xué)研究的影響歷經(jīng)數(shù)十年演進，已從早期的計算輔助逐步發(fā)展為具備協(xié)同能力的研究伙伴，特別是2020年以來深度學(xué)習(xí)與大語言模型的發(fā)展使AI從“驗證工具”升級為“發(fā)現(xiàn)助手”，開始主動參與數(shù)學(xué)規(guī)律的挖掘與猜想的生成。這一轉(zhuǎn)變徹底重塑了數(shù)學(xué)研究的范式，讓機器從“證明的執(zhí)行者”變?yōu)椤耙?guī)律的探索者”。

北京大學(xué)博雅特聘教授、北京大學(xué)國際機器學(xué)習(xí)研究中心副主任、北京中關(guān)村學(xué)院常務(wù)副院長董彬表示，數(shù)學(xué)證明過程的精確性要求使得任何微小差錯都會導(dǎo)致整個證明失效，而AI工具（如Lean證明輔助系統(tǒng)）不僅能夠幫助數(shù)學(xué)家將自然語言表述的直覺轉(zhuǎn)化為嚴(yán)格的形式化證明，有效規(guī)避人為失誤，還可以快速識別新理論與既有數(shù)學(xué)體系的聯(lián)系，為數(shù)學(xué)家提供關(guān)鍵的研究方向評估。此外，AI可自動化處理繁瑣計算等重復(fù)勞動可以顯著降低數(shù)學(xué)研究的技術(shù)門檻。這種變革不僅會加速數(shù)學(xué)研究進程，更將重塑數(shù)學(xué)作為“基礎(chǔ)語言”的學(xué)科定位，使其從封閉的專家系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)殚_放的問題解決平臺。

上海交通大學(xué)自然科學(xué)研究院院長金石認(rèn)為，AI與數(shù)學(xué)的結(jié)合本質(zhì)上是一種“認(rèn)知增強”。因此，AI for Math的真正價值不在于替代傳統(tǒng)方法，而在于創(chuàng)造更多新的機會去探索更多未知世界，系統(tǒng)性地拓展人類科學(xué)的認(rèn)知邊界，最終實現(xiàn)從解決既定問題到發(fā)現(xiàn)未知問題的范式轉(zhuǎn)換。

不過，專家們也注意到當(dāng)前AI在創(chuàng)新方面存在的明顯局限性。

1994年菲爾茲獎得主，中國科學(xué)院外籍院士、南方科技大學(xué)講席教授Efim Zelmanov表示，數(shù)學(xué)作為一門具有實驗性質(zhì)的科學(xué)，在猜想提出和數(shù)論研究等需要大量計算的領(lǐng)域，人工智能能夠有效替代人工計算。但數(shù)學(xué)證明的本質(zhì)在于理解而非單純計算，人工智能在需要深度思考和創(chuàng)造性思維的數(shù)學(xué)證明領(lǐng)域，尚難以完全替代人類研究者的獨特作用。

劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)家Kevin Buzzard也指出：“AI能生成漂亮的證明步驟，卻提不出‘朗蘭茲綱領(lǐng)’這樣的宏大理論。”機器的突破多源于對海量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計歸納，而人類數(shù)學(xué)家能從看似無關(guān)的領(lǐng)域中提煉出統(tǒng)一框架（如朗蘭茲綱領(lǐng)將數(shù)論、代數(shù)幾何與表示論聯(lián)系起來），這種“從0到1”的原創(chuàng)性，仍是AI尚未跨越的鴻溝。